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Fri, 15 May 2026 04:54:22 GMT

简谐振动的合成

Fri, 15 May 2026 04:17:10 GMT

6.周期震动若一个质点同时参与几个简谐振动，则质点的实际运动等于这些振动的矢量合成或代数合成。对于同一直线上的简谐振动，合位移为各分振动位移的代数和：简谐振动合成时，常见情况主要有：同方向、同频率的简谐振动合成；同方向、频率不同的简谐振动合成；相互垂直的简谐振动合成。设两个同方向、同频率的简谐振动为：合振动为：由于两个分振动的角频率相同，所以合振动仍然是一个简谐振动：其中，为合振幅，为合振动的初相位。合振幅为：令：则：其中称为两个分振动的相位差。合振动的初相位满足：因此合振动方程为：若：则：所以：此时合振幅最大。合振动为：若：则：所以：此时合振幅最小。如果：则：说明两个振动完全抵消。若：则：所以：设两个同方向简谐振动为：合振动为：如果，一般情况下合振动不再是严格的简谐振动。因为合振动不能写成单一形式：其中、、都为常量。当两个同方向、振幅相等、频率接近的简谐振动叠加时，会出现拍现象。设：合振动为：利用三角恒等式：可得：令：则：其中：表示较快的振动；表示振幅缓慢变化。拍现象中，声音或振动强弱周期性变化。拍频为：拍周期为：也可以写成：若质点同时参与两个互相垂直方向上的简谐振动，则其运动轨迹一般不是直线，而是平面曲线。设：其中两个振动方向互相垂直，角频率相同。令相位差为：不同的相位差会形成不同的轨迹。若：则两个方向的振动同步变化。此时轨迹为一条直线：即：若：则两个方向的振动反向变化。此时轨迹仍为一条直线：若：则：即：消去时间，得到：所以轨迹为椭圆。若：则轨迹为圆。对于：消去时间后，可得轨迹方程：这是一条椭圆方程。因此：两个相互垂直、同频率的简谐振动合成后，轨迹一般为椭圆；特殊情况下为直线或圆。若：且：则合运动轨迹一般较复杂，称为李萨如图形。当两个振动的频率成简单整数比时，轨迹为稳定的闭合曲线。例如：可能形成直线、椭圆或圆。可能形成较复杂的闭合曲线。如果两个频率之比不是简单整数比，则轨迹一般不闭合。简谐振动的合成主要分为以下几种情况：其中最重要的是同方向、同频率简谐振动的合成：合振动为：合振幅为：

简谐振动的描述

Fri, 15 May 2026 04:11:08 GMT

6.周期震动如果一个物体在平衡位置附近做往复运动，并且其加速度大小与位移大小成正比，方向始终指向平衡位置，则该运动称为简谐振动。简谐振动的基本特征是：其中：表示物体相对平衡位置的位移；表示加速度；表示角频率；负号表示加速度方向始终与位移方向相反，即总是指向平衡位置。以弹簧振子为例，设物体受到的回复力为：由牛顿第二定律：又因为：所以：整理得：令：则有：这就是简谐振动的微分方程。简谐振动的位移随时间变化规律为：也可以写成：通常使用余弦形式：其中：振幅表示物体离开平衡位置的最大距离：振幅只表示振动范围的大小，与振动快慢无关。周期表示完成一次全振动所需要的时间，用表示。频率表示单位时间内完成全振动的次数，用表示。因此：由位移方程：对时间求导，得到速度：所以：速度最大值为：速度的特点：物体经过平衡位置时，速度最大；物体到达最大位移处时，速度为零；速度方向表示物体实际运动方向；速度随时间也做周期性变化。由速度方程：继续对时间求导：得：由于：所以：这说明简谐振动的加速度与位移成正比，方向始终与位移方向相反。简谐振动中：因此：速度与位移之间还满足：所以：其中正负号由物体的运动方向决定。由此可知：在平衡位置，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大；加速度始终指向平衡位置；位移越大，加速度越大。简谐振动的位移-时间图像是一条正弦或余弦曲线。若：则图像具有以下特点：曲线在和之间周期性变化；最大位移为；最小位移为；一个完整波形对应一个周期；曲线关于平衡位置对称。在简谐振动方程中：其中：称为相位。相位决定了物体在某一时刻的运动状态，包括位移、速度和加速度。当时：此时的称为初相位，它决定了物体开始计时时的位置和运动方向。以弹簧振子为例，简谐振动过程中动能和势能不断相互转化。弹性势能为：动能为：机械能为：在没有阻力的理想情况下，机械能守恒：也可以写成：因此：物体经过平衡位置时，速度最大，动能最大；物体到达最大位移处时，速度为零，动能最小；位移越大，势能越大；理想简谐振动中机械能保持不变。简谐振动是一种周期性的往复运动，其核心特征是：常用位移方程为：速度和加速度分别为：其中：说明加速度始终指向平衡位置。简谐振动的图像是正弦或余弦曲线，运动过程中动能和势能相互转化，在理想情况下机械能守恒。

旋转矢量法

Fri, 15 May 2026 04:09:52 GMT

6.周期震动旋转矢量法是研究简谐振动的一种几何方法。它的核心思想是：一个简谐振动可以看成是一个做匀速圆周运动的矢量在某一直径方向上的投影。也就是说，虽然物体实际只是在一条直线上往复运动，但我们可以假想有一个矢量在圆周上匀速转动，这个矢量在轴上的投影，就等于简谐振动的位移。设一个矢量的长度为，它绕原点以角速度逆时针匀速转动。在时，矢量与轴正方向的夹角为。经过时间后，矢量转过的角度为：因此此时矢量与轴正方向的夹角为：这个角度就是简谐振动的相位。旋转矢量的长度为，它在轴上的投影为：又因为：所以：这正是简谐振动方程。因此：说明简谐振动的位移可以看作旋转矢量在轴上的投影。其中周期满足：当旋转矢量匀速转动时，它在轴上的投影不断变化。由于投影为：所以位移随时间变化形成一条余弦曲线。也就是说：旋转矢量的匀速圆周运动，对应着简谐振动曲线中的周期性变化。设简谐振动方程为：令：则：对时间求导：得到：即：旋转矢量在圆周上运动时，其速度方向沿圆的切线方向。这个切向速度在轴上的投影，就是简谐振动的速度。当旋转矢量在圆的最右端或最左端时，它的切向速度竖直方向，没有方向投影，所以：对应简谐振动物体到达最大位移处。当旋转矢量在圆的最高点或最低点时，它的切向速度水平，方向投影最大，所以速度最大。因此：速度为：再次对时间求导：得到：由于：所以：这说明简谐振动的加速度始终与位移方向相反，并且总是指向平衡位置。旋转矢量做匀速圆周运动时，加速度始终指向圆心，称为向心加速度。向心加速度在轴上的投影，就是简谐振动的加速度。因此：当时，加速度指向负方向；当时，加速度指向正方向；当时，加速度为；当时，加速度大小最大。对于简谐振动：当时：速度为：当时：因此判断初相位时，不能只看初始位移，还要看初始速度。此时：所以：即：因此：振动方程为：此时：由：得：或：又因为：所以：因此：振动方程为：也可以写成：此时：由：得：或：又因为：所以：因此：振动方程为：也可以写成：此时：所以：即：因此：振动方程为：也可以写成：设两个同频率简谐振动为：它们的相位差为：在旋转矢量图中，相位差就是两个旋转矢量之间的夹角。画一个半径为的圆；从圆心作长度为的旋转矢量；按照初相位确定矢量初始位置；让矢量以角速度逆时针转动；取矢量在轴上的投影，得到位移；根据投影变化判断速度方向、加速度方向和相位关系。某质点做简谐振动，振幅为，角频率为。已知时，质点位于平衡位置，并且向负方向运动，求振动方程。简谐振动方程设为：由题意：当时：所以：或：又因为：所以：因此：振动方程为：也可以写成：旋转矢量法中的圆周运动只是一个辅助模型，质点本身并不是真的沿圆周运动。质点的真实运动仍然是在一条直线上的往复运动，旋转矢量只是用来帮助理解简谐振动中的位移、速度、加速度、初相位和相位差。

简谐振动中的速度和加速度

Fri, 15 May 2026 04:08:08 GMT

6.周期震动设简谐振动方程为：其中：为振幅为角频率为初相位为相位速度是位移对时间的一阶导数：由：对时间求导，得：所以简谐振动的速度方程为：速度的最大值为：速度随时间也做周期性变化；速度比位移相位超前；当物体经过平衡位置时，速度最大；当物体到达最大位移处时，速度为。加速度是速度对时间的一阶导数，也是位移对时间的二阶导数：由：对时间求导，得：又因为：所以：因此简谐振动的加速度方程为：或：加速度的最大值为：加速度大小与位移大小成正比；加速度方向始终与位移方向相反；加速度始终指向平衡位置；当位移最大时，加速度最大；当物体经过平衡位置时，加速度为。简谐振动中：这说明：当时，，加速度指向负方向；当时，，加速度指向正方向；当时，；当时，最大。由能量关系也可以得到速度与位移之间的关系：所以：其中正负号由物体的运动方向决定。当：时：速度最大。当：时：速度最小。因此：简谐振动中，物体在平衡位置速度最大，在最大位移处速度为零。设：则：也可以写成：加速度为：也可以写成：因此：简谐振动的位移、速度、加速度分别为：其中最重要的关系是：它表明简谐振动的加速度始终指向平衡位置，大小与位移成正比。

刚体定轴转动的动能定理；机械能守恒定律

Fri, 15 May 2026 03:18:59 GMT

5.刚体力学基础刚体绕固定轴转动时，刚体上各质点都绕同一转轴作圆周运动。设刚体中第个质点的质量为，到转轴的距离为，刚体的角速度为，则该质点的线速度为：该质点的动能为：代入，得：整个刚体的转动动能为各质点动能之和：由于刚体各质点具有相同的角速度，所以：又因为刚体对转轴的转动惯量为：所以刚体定轴转动的动能为：刚体绕固定轴转过一个微小角位移时，外力矩对刚体做的微元功为：其中：为外力对转轴的力矩为刚体转过的微小角位移当刚体从角位置转到角位置时，外力矩做功为：如果力矩为恒量，则：即：刚体绕固定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量：即：如果转动惯量不变，则：这就是刚体定轴转动的动能定理。刚体定轴转动的动能定理说明：合外力矩对刚体做功，会改变刚体的转动动能。如果：则：如果：则：如果：则：如果作用在刚体上的力是保守力，例如重力，则保守力做功可以用势能变化表示：即：对于重力势能，有：其中是刚体质心相对于零势能面的高度。对于绕固定轴转动的刚体，其机械能为转动动能和势能之和：即：如果只考虑重力势能，则：如果刚体在定轴转动过程中，只有保守力做功，非保守力不做功，则刚体的机械能守恒。即：则：对于刚体定轴转动，有：在两个状态之间，可以写成：若势能为重力势能，则：其中：为初状态质心高度为末状态质心高度为刚体对固定转轴的转动惯量、分别为初、末状态角速度如果除了保守力之外，还有非保守力做功，则机械能一般不守恒。此时有：即：对于刚体定轴转动：如果，则机械能守恒。一根质量为、长度为的均匀细杆，可以绕通过一端且垂直于杆的固定轴自由转动。细杆从水平位置由静止释放，求细杆转到竖直位置时的角速度。细杆绕固定轴转动，忽略空气阻力和轴摩擦，只有重力做功，因此机械能守恒。取细杆最低位置时质心所在高度为零势能面。初状态：细杆水平，质心到最低位置的高度为：初角速度为：所以初机械能为：即：末状态：细杆竖直，质心在最低位置：末机械能为：细杆绕端点转动的转动惯量为：由机械能守恒：即：整理得：解得：所以：细杆转到竖直位置时的角速度为：刚体定轴转动的转动动能为：力矩做功为：刚体定轴转动的动能定理为：即：刚体定轴转动的机械能为：如果只有保守力做功，则机械能守恒：如果考虑重力势能，则：

刚体定轴转动的角动量定理；角动量守恒定律

Fri, 15 May 2026 03:14:40 GMT

5.刚体力学基础对于绕固定轴转动的刚体，其角动量为：其中：表示刚体对转轴的角动量表示刚体对该转轴的转动惯量表示刚体的角速度刚体绕定轴转动时，合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率：由于定轴转动中：如果刚体对转轴的转动惯量不变，则：因为：所以：这说明刚体定轴转动的转动定律：可以看作角动量定理的特殊形式。力矩对时间的累积称为冲量矩：根据角动量定理：两边对时间积分：得到：即：这就是刚体定轴转动的角动量定理积分形式。若刚体转动惯量不变，则：所以：如果合外力矩为恒量，则：也可以写成：角动量定理说明：合外力矩对时间的累积效果，会引起刚体角动量的变化。也就是说：合外力矩越大，角动量变化越快作用时间越长，角动量变化越大如果合外力矩为零，角动量不发生变化这与质点动量定理类似：由角动量定理：如果刚体所受的合外力矩为零，即：则：所以：这就是角动量守恒定律。对于定轴转动的刚体，有：若刚体所受合外力矩为零，则：即：其中：、表示初状态的转动惯量和角速度、表示末状态的转动惯量和角速度角动量守恒说明：如果系统不受外力矩，或所受合外力矩为零，则系统的总角动量保持不变。对于定轴转动问题，如果转动惯量发生变化，则角速度会相应变化。由：可知：当变小时，变大当变大时，变小典型例子：花样滑冰运动员收拢手臂后转得更快跳水运动员抱紧身体后旋转更快转椅上的人伸开手臂后转得变慢角动量守恒定律成立的关键条件是：需要注意：不是合外力为零，而是合外力矩为零内力矩不会改变系统总角动量判断时必须明确所选转轴角动量和力矩都要相对于同一转轴计算一个人坐在可自由转动的转椅上，开始时转动惯量为，角速度为。后来人收拢双臂，使系统转动惯量变为。忽略摩擦阻力，求收拢双臂后的角速度。忽略摩擦阻力，系统所受合外力矩近似为零：因此系统角动量守恒：解得：收拢双臂后，人的转动惯量减小，即：因此：所以人会转得更快。刚体定轴转动的角动量为：刚体定轴转动的角动量定理为：积分形式为：若转动惯量不变，则：当合外力矩为零时：角动量守恒：对于定轴转动：即：

刚体转动的转动定律

Fri, 15 May 2026 03:08:41 GMT

5.刚体力学基础刚体定轴转动的运动学部分主要研究：之间的关系。而刚体定轴转动的动力学部分主要研究：是什么原因使刚体产生角加速度？对于质点平动，力是改变物体运动状态的原因：对于刚体定轴转动，使刚体转动状态发生改变的原因不是单纯的力，而是力矩。力对转轴的力矩表示力使刚体绕转轴转动的作用效果。设力作用在刚体上某点，该点到转轴的距离为，力与半径方向的夹角为，则力矩大小为：其中：表示力矩表示力臂对应的距离表示力的大小表示与的夹角也可以写成：其中是力臂，即转轴到力的作用线的垂直距离。在定轴转动中，通常只研究力矩沿转轴方向的分量。若规定逆时针转动为正方向，则：使刚体逆时针转动的力矩为正使刚体顺时针转动的力矩为负因此力矩是有正负号的物理量。如果刚体受到多个外力作用，则这些外力对转轴的力矩代数和称为合外力矩：刚体的转动状态由合外力矩决定。转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。对于由许多质点组成的刚体，若第个质点质量为，到转轴的距离为，则刚体对该转轴的转动惯量为：对于质量连续分布的刚体，转动惯量为：其中表示质量元到转轴的距离。转动惯量越大，刚体的转动状态越难改变。也就是说，在相同合外力矩作用下：转动惯量在转动中的作用类似于平动中的质量。刚体绕固定轴转动时，刚体所受合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积：这就是刚体定轴转动的转动定律。公式说明：合外力矩是产生角加速度的原因角加速度方向由合外力矩方向决定在转动惯量一定时，合外力矩越大，角加速度越大在合外力矩一定时，转动惯量越大，角加速度越小刚体定轴转动的转动定律与质点平动中的牛顿第二定律形式相似。因此可以把看作转动形式的牛顿第二定律。设刚体由许多质点组成，其中第个质点质量为，到转轴的距离为。该质点绕转轴做圆周运动，其切向加速度为：根据牛顿第二定律，切向力为：代入，得：该质点受到的切向力对转轴的力矩为：代入上式：对刚体中所有质点求和：由于刚体定轴转动时，所有质点具有相同的角加速度，所以：又因为：所以：公式适用于刚体绕固定轴转动的情况。使用时要注意：力矩必须是对同一转轴计算的力矩转动惯量必须是刚体对该转轴的转动惯量角加速度是绕该转轴转动的角加速度力矩、角加速度都要注意正负方向质量为的质点到转轴距离为，则：质量为，长度为的均匀细杆，绕过中心且垂直于杆的轴转动：质量为，长度为的均匀细杆，绕过端点且垂直于杆的轴转动：质量为，半径为的薄圆环，绕垂直于圆环平面并通过圆心的轴转动：质量为，半径为的均匀圆盘，绕垂直于圆盘平面并通过圆心的轴转动：质量为，半径为的均匀实心球，绕直径转动：质量为，半径为的薄球壳，绕直径转动：如果已知刚体绕通过质心的某一转轴的转动惯量为，要求刚体绕与该轴平行、距离为的另一转轴的转动惯量，则有：其中：是刚体对新转轴的转动惯量是刚体对过质心轴的转动惯量是刚体总质量是两平行轴之间的距离这个公式称为平行轴定理。例如，均匀细杆绕中心轴的转动惯量为：若转轴移到细杆端点，则：即：所以：明确研究的是哪个刚体。例如：滑轮圆盘细杆飞轮转动的门转动惯量和力矩都必须相对于同一转轴计算。找出所有对转轴有力矩的外力。注意：如果力的作用线通过转轴，则该力对转轴的力矩为零。通常规定刚体实际转动方向为正方向。力矩方向与正方向相同则取正，反之取负。根据：列方程求解。一根质量为、长度为的均匀细杆，可以绕通过一端且垂直于杆的固定轴转动。细杆从水平位置由静止释放，求刚释放瞬间细杆的角加速度。细杆受到重力作用，重力大小为：重力作用在细杆的质心处。均匀细杆的质心位于杆的中点，因此质心到转轴的距离为：刚释放瞬间，细杆水平，所以重力对转轴的力臂为：重力矩大小为：细杆绕端点转动的转动惯量为：根据转动定律：代入：解得：刚释放瞬间，细杆的角加速度大小为：方向为细杆向下转动的方向。刚体定轴转动的转动定律为：它说明合外力矩是改变刚体转动状态的原因。其中：表示刚体所受合外力矩表示刚体对转轴的转动惯量表示刚体的角加速度转动惯量定义为：或：转动定律与牛顿第二定律的对应关系为：在解题时，要特别注意：力矩和转动惯量必须对应同一转轴力矩要区分正负方向通过转轴的力不产生力矩转动惯量不仅与质量有关，还与质量相对于转轴的分布有关

常见刚体的转动惯量

Fri, 15 May 2026 03:08:31 GMT

刚体转动的转动定律I=I_C+md^2 $$

刚体运动

Fri, 15 May 2026 03:05:14 GMT

5.刚体力学基础刚体是指在运动过程中，物体内任意两点之间的距离始终保持不变的理想化物体。也就是说，刚体不会发生形变，满足：其中和分别表示刚体上两点的位置矢量。在大学物理中，刚体运动主要分为两类：平动转动其中，刚体力学主要研究刚体的转动，尤其是定轴转动。如果刚体在运动过程中，刚体内任意一条直线始终保持方向不变，则这种运动称为刚体的平动。平动可以理解为：刚体上所有点都做完全相同的运动。在刚体平动中，刚体上任意两点、的位移、速度和加速度都相同：因此，研究刚体平动时，可以把整个刚体看成一个质点来处理。例如，一个电梯在竖直方向上的升降运动，可以近似看作平动。电梯上各点虽然位置不同，但它们在同一时刻具有相同的速度和加速度。如果刚体在运动过程中，刚体上各点都绕某一直线作圆周运动，则这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。在转动过程中，刚体上不同点的轨迹一般不同，但它们具有相同的角位移、角速度和角加速度。如果刚体绕一条固定不动的直线转动，则这种运动称为刚体的定轴转动。定轴转动是刚体转动中最基本、最常见的一类运动。例如：门绕合页转动车轮绕固定轴转动风扇叶片绕中心轴转动滑轮绕固定轴转动刚体绕定轴转动时，可以用某一参考线与固定参考方向之间的夹角来描述刚体的位置，这个角称为角位置，记作：角位置通常以弧度为单位。刚体从角位置转到角位置，其角位移为：角位移是描述刚体转过角度大小和方向的物理量。若规定逆时针方向为正，则：逆时针转动：顺时针转动：刚体在时间内转过角位移，其平均角速度为：当时间间隔趋近于零时，平均角速度的极限称为瞬时角速度：角速度描述刚体转动快慢和方向。在定轴转动中，刚体上所有点具有相同的角速度。刚体在时间内角速度变化量为，其平均角加速度为：当时间间隔趋近于零时，平均角加速度的极限称为瞬时角加速度：由于所以角加速度也可以写为：角加速度描述角速度变化的快慢。由角速度定义：由角加速度定义：如果要消去时间，可使用链式法则：因为所以：这个公式常用于已知角加速度与角位置有关的问题。当刚体做定轴转动，且角加速度为常量时，运动规律与质点匀变速直线运动形式相似。其中：为初角速度为时刻的角速度为角加速度如果取初始角位置，则：若取，则：对于匀变速定轴转动，有：因此角位移也可以写为：即：刚体绕定轴转动时，刚体上某点到转轴的距离为。该点的线位移、线速度和线加速度可以由角量表示。点转过的弧长为：其中必须用弧度表示。对两边对时间求导：因此：说明：刚体上各点的角速度相同，但由于距离转轴的距离不同，所以线速度大小一般不同。距离转轴越远，线速度越大。对两边对时间求导：其中表示切向加速度。切向加速度描述速度大小变化的快慢。刚体上某点作圆周运动，因此还具有指向转轴的法向加速度：由于所以：法向加速度描述速度方向变化的快慢。刚体上某点的总加速度由切向加速度和法向加速度合成：代入：即：刚体定轴转动可以看作刚体上每一个质点都绕同一固定轴做圆周运动。但是要注意：刚体上各点的角位移相同刚体上各点的角速度相同刚体上各点的角加速度相同刚体上不同点的线速度一般不同刚体上不同点的线加速度一般不同因为线量与到转轴的距离有关：刚体运动可以分为平动和转动。平动中，刚体上所有点具有相同的速度和加速度，可以把整个刚体看作质点处理。转动中，刚体上各点绕转轴作圆周运动。对于定轴转动，刚体上所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度，但不同点的线速度和线加速度一般不同。刚体定轴转动的核心角量关系为：匀变速定轴转动的基本公式为：角量与线量之间的关系为：

碰撞

Fri, 15 May 2026 03:01:14 GMT

4.机械能机械能守恒碰撞是指两个或多个物体在很短时间内发生强烈相互作用的过程。碰撞过程通常具有两个特点：作用时间很短相互作用力很大因此，在碰撞过程中，如果系统所受外力的冲量可以忽略，则系统动量守恒。对于一维两物体碰撞，有：其中：表示物体碰撞前速度表示物体碰撞前速度表示物体碰撞后速度表示物体碰撞后速度完全弹性碰撞是指碰撞前后系统的动量守恒，并且系统的总动能保持不变。即：\frac{1}{2}m1v{10}^2+\frac{1}{2}m2v{20}^2\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 v1= \frac{(m_1-m_2)v{10}+2m2v{20}}{m_1+m_2} v2= \frac{(m_2-m_1)v{20}+2m1v{10}}{m_1+m_2} m_1=m_2 v1=v{20} v2=v{10} m_1\ll m_2 v_{20}=0 v1\approx -v{10} v_2\approx 0 m1v{10}+m2v{20}=m_1v_1+m_2v_2 \frac{1}{2}m1v{10}^2+\frac{1}{2}m2v{20}^2 \neq \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 E{k\text{末}}

机械能守恒定律

Fri, 15 May 2026 02:54:58 GMT

4.机械能机械能守恒前面已经知道，质点系的动能定理为：如果把内力分为保守内力和非保守内力，则有：对于保守力，有：所以保守内力做功可以用势能变化表示：代入动能定理：整理得：因为机械能定义为：所以：因此得到功能原理：也就是：功能原理说明：外力做功和非保守内力做功，会引起系统机械能的变化。如果：则系统机械能增加。如果：则系统机械能减少。如果：则系统机械能不变。由功能原理：如果外力不做功，非保守内力也不做功，即：则：所以：这就是机械能守恒定律。因此，机械能守恒定律可以看作是功能原理在特殊条件下的结果。机械能是动能和势能的总和：其中：常见势能有：如果系统中只有保守力做功，或者非保守力不做功，则系统的机械能保持不变。即：也可以写成：这就是机械能守恒定律。机械能守恒的核心条件是：也就是说：外力不做功，或外力做功总和为零非保守内力不做功，或非保守内力做功总和为零保守力可以做功，但它只会使动能和势能相互转化常见保守力包括：重力弹簧弹力万有引力静电力常见非保守力包括：滑动摩擦力空气阻力碰撞中的形变力若只有重力做功，则：\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2 \frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}kx_1^2\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_2^2 W{\text{外}}+W{\text{内非保}}=\Delta E W{\text{外}}+W{\text{内非保}}=0 \Delta E=0 E_k+E_p=\text{常量} v_1=0 h_1=h h_2=0 v_2=v E{k1}+E{p1}=E{k2}+E{p2} 0+mgh=\frac{1}{2}mv^2+0 gh=\frac{1}{2}v^2 v=\sqrt{2gh} E=E_k+E_p E{k1}+E{p1}=E{k2}+E{p2} W{\text{外}}+W{\text{内非保}}=0

保守力与势能

Fri, 15 May 2026 02:43:48 GMT

4.机械能机械能守恒在力学中，有些力做功具有特殊性质：它们对物体做的功只与物体的初位置和末位置有关，而与物体经过的具体路径无关。这样的力称为保守力。也就是说，如果质点从位置运动到位置，保守力所做的功满足：只取决于和的位置，而与中间路径无关。设质点从点到点有两条不同路径：路径一：路径二：如果某个力是保守力，则沿不同路径做功相同：这说明保守力做功与路径无关，只与初末位置有关。如果质点在保守力作用下沿闭合路径运动一周，最终又回到出发点，则初位置和末位置相同。由于保守力做功只与初末位置有关，所以：用积分形式表示为：其中：表示沿闭合路径积分表示保守力表示微小位移因此，判断一个力是否为保守力的重要条件是：对于保守力，可以引入一个只与位置有关的能量函数，称为势能。势能通常用：表示。势能描述的是物体由于其位置或形变而具有的能量。例如：物体在重力场中的高度不同，具有不同的重力势能弹簧被拉伸或压缩时，具有弹性势能两个有万有引力作用的物体之间距离不同，具有引力势能保守力做功等于势能减少量。若质点在保守力作用下从位置运动到位置，则：其中：所以：即：这说明：保守力做正功时，势能减少；保守力做负功时，势能增加。势能的数值不是绝对的，而是相对的。只有势能的变化量：才有确定的物理意义。因此，在计算势能时，必须先选定一个势能零点。势能零点不同，势能的具体数值不同，但势能差不变。例如，在近地面重力场中，可以选择地面为零势能面：也可以选择桌面为零势能面：不同选择会改变势能的表达值，但不会改变重力做功和势能变化之间的关系。在一维直线运动中，保守力做的微元功为：而保守力做功与势能变化关系为：因此：所以：这说明：保守力等于势能函数对位置的负导数。也就是说，物体受到的保守力总是指向势能降低最快的方向。在三维空间中，保守力与势能的关系为：其中：表示势能函数的梯度。在直角坐标系中：\nabla E_p\frac{\partial E_p}{\partial x}\vec{i} \frac{\partial E_p}{\partial y}\vec{j} \frac{\partial E_p}{\partial z}\vec{k} $$ 所以：\vec{F}-\frac{\partial E_p}{\partial x}\vec{i} -\frac{\partial E_p}{\partial y}\vec{j} -\frac{\partial E_p}{\partial z}\vec{k} F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x} F_y=-\frac{\partial E_p}{\partial y} F_z=-\frac{\partial E_p}{\partial z} G=mg E_p=mgh W_G=mg(h_1-h_2) \Delta E_p=mg h_2-mg h_1 \Delta E_p=mg(h_2-h_1) W_G=-\Delta E_p h_20 h_2>h_1 W_G<0 F=-kx W=\int_{x_1}^{x_2}(-kx)dx W=\frac{1}{2}kx_1^2-\frac{1}{2}kx_2^2 W=-\Delta E_p E_p=\frac{1}{2}kx^2 F=G\frac{Mm}{r^2} E_p(\infty)=0 E_p=-G\frac{Mm}{r} WG=E{p1}-E_{p2} W_G=-G\frac{Mm}{r_1}-\left(-G\frac{Mm}{r_2}\right) W_G=G Mm\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right) W{A\to B}^{(1)}\neq W{A\to B}^{(2)} \oint \vec{F}\cdot d\vec{r}\neq 0 W_f=-fs E=E_k+E_p W_{\text{合}}=\Delta E_k W{\text{合}}=W{\text{保}} W_{\text{保}}=-\Delta E_p \Delta E_k=-\Delta E_p \Delta E_k+\Delta E_p=0 \Delta(E_k+E_p)=0 E_k+E_p=\text{常量} W{\text{保}}+W{\text{非保}}=\Delta E_k W_{\text{保}}=-\Delta E_p -\Delta Ep+W{\text{非保}}=\Delta E_k W_{\text{非保}}=\Delta E_k+\Delta E_p W_{\text{非保}}=\Delta E E=E_k+E_p W_{\text{非保}}=\Delta(E_k+E_p) g=10\ \mathrm{m/s^2} W_G=mg(h_1-h_2) W_G=2\times 10\times (10-4) W_G=120\ \mathrm{J} \Delta E_p=mg h_2-mg h_1 \Delta E_p=mg(h_2-h_1) \Delta E_p=2\times 10\times (4-10) \Delta E_p=-120\ \mathrm{J} W_G=120\ \mathrm{J} \Delta E_p=-120\ \mathrm{J} W_G=-\Delta E_p k=200\ \mathrm{N/m} x_1=0.10\ \mathrm{m} x_2=0.20\ \mathrm{m} W=\frac{1}{2}kx_1^2-\frac{1}{2}kx_2^2 W=\frac{1}{2}\times 200\times (0.10)^2-\frac{1}{2}\times 200\times (0.20)^2 W=100\times 0.01-100\times 0.04 W=1-4 W=-3\ \mathrm{J} \Delta E_p=\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{1}{2}kx_1^2 \Delta E_p=4-1 \Delta E_p=3\ \mathrm{J} W=-3\ \mathrm{J} \Delta E_p=3\ \mathrm{J} W=-\Delta E_p E_p(x)=3x^2+2x F(x)=-\frac{dE_p}{dx} F(x)=-\frac{d}{dx}(3x^2+2x) F(x)=-(6x+2) F(x)=-6x-2 F(x)=-6x-2 \mathrm{N} W_f=-10\ \mathrm{J} g=10\ \mathrm{m/s^2} E_{p1}=mgh E_{p1}=1\times 10\times 5 E_{p1}=50\ \mathrm{J} E_{k1}=0 E_{p2}=0 W_{\text{非保}}=\Delta(E_k+E_p) Wf=(E{k2}+E{p2})-(E{k1}+E_{p1}) -10=(E_{k2}+0)-(0+50) -10=E_{k2}-50 E_{k2}=40\ \mathrm{J} 40\ \mathrm{J} W_{A\to B} \oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=0 W_{\text{保}}=-\Delta E_p W{\text{保}}=E{p1}-E_{p2} F(x)=-\frac{dE_p}{dx} \vec{F}=-\nabla E_p E=E_k+E_p E_k+E_p=\text{常量} W_{\text{非保}}=\Delta(E_k+E_p) $$

质点的动能定理、质点系的动能定理

Fri, 15 May 2026 02:39:46 GMT

功（力的空间累积效应）动能是描述物体由于运动而具有的能量。对于质量为、速度大小为的质点，其动能定义为：其中：表示动能表示质点质量表示质点速度大小动能是标量，只有大小，没有方向。由公式：可知动能的单位为：而：所以动能的国际单位是焦耳，符号为：对于一个质点，合力对质点所做的功，等于质点动能的增量。即：也就是：代入动能表达式：其中：表示合力对质点所做的功表示初动能表示末动能表示初速度大小表示末速度大小根据牛顿第二定律：质点在极小位移上，合力做的微元功为：代入牛顿第二定律：由于：且：所以：即：又因为：所以：两边积分：得到：因此：这就是质点的动能定理。质点动能定理说明：合力做功是改变质点动能的原因。如果：则：质点动能增加，速度大小增大。如果：则：质点动能减少，速度大小减小。如果：则：质点动能不变，速度大小不变。注意：动能不变只说明速率不变，不一定说明速度方向不变。例如匀速圆周运动中，向心力不做功，质点动能不变，但速度方向一直在改变。牛顿第二定律描述的是力对运动状态改变的瞬时作用：动能定理描述的是力在空间位移上累积之后对动能的改变：因此：牛顿第二定律是瞬时形式，动能定理是空间累积形式。也可以理解为：力的空间累积效应表现为功，而合力做功的结果表现为动能改变。由多个质点组成的系统称为质点系。设质点系由个质点组成，第个质点的质量为，速度大小为，则第个质点的动能为：质点系的总动能等于各个质点动能之和：即：对于质点系，所有外力和内力对系统中各质点所做功的总和，等于质点系总动能的增量。即：也就是：其中：表示所有外力对质点系所做功的总和表示所有内力对质点系所做功的总和表示质点系初始总动能表示质点系末态总动能对质点系中的第个质点，应用质点动能定理：其中表示作用在第个质点上的所有力对它所做的功。把质点系中所有质点的动能定理相加：左边是所有力对系统中各质点做功的总和，包括外力做功和内力做功：右边是质点系总动能的变化：因此得到：这就是质点系的动能定理。外力是系统外部物体对系统内质点的作用力。外力对质点系所做的功称为外力功，用：表示。例如：重力对物体系做的功地面对物体的支持力做的功外界拉力对系统做的功摩擦力对系统做的功内力是系统内部各质点之间的相互作用力。内力对质点系所做的功称为内力功，用：表示。例如：两个质点之间的弹力做功两个质点之间的万有引力做功碰撞过程中系统内部相互作用力做功对于质点系，内力总是成对出现，并满足牛顿第三定律：但是，内力做功是否相互抵消，不只取决于力是否等大反向，还取决于各质点的位移是否相同。第个质点受到第个质点的作用力为，位移为。第个质点受到第个质点的作用力为，位移为。这一对内力所做的微元功为：由于：所以：即：因此，内力做功与两个质点之间的相对位移有关。如果：则：如果两个质点之间存在相对位移，则内力功一般不为零。所以：内力成对等大反向，但内力做功不一定相互抵消。如果系统内部各质点之间没有相对位移，或者内力对系统总做功为零，则：质点系动能定理变为：这种情况常见于刚体整体平动的简化模型。如果系统所受外力总功为零，但内力做功不为零，则：于是：这说明系统内部相互作用也可以改变系统总动能。例如：爆炸过程中，系统外力可以忽略，但内部爆炸力做功，使碎片获得动能。一般情况下，外力和内力都可能做功，此时应使用完整形式：例如：两个由弹簧连接的小球在外力作用下运动时，外力和弹簧弹力都可能对系统做功。动量定理描述力的时间累积效应：即：它研究的是力在时间上的积累对动量的改变。动能定理描述力的空间累积效应：即：它研究的是力在空间上的积累对动能的改变。质量为的物体从静止开始，在水平恒力作用下沿光滑水平面运动，求物体的末速度。物体初速度为：水平面光滑，只有拉力做功。拉力做功为：代入：由动能定理：因为：所以：代入：即：所以：因此，物体的末速度为：质量为的物体在水平面上受到水平拉力作用，移动距离。动摩擦因数为，取：若物体初速度为，求末速度。水平面上支持力为：代入：摩擦力大小为：所以：拉力做功：代入：摩擦力做功：代入：合力做功为：代入：由动能定理：代入：即：所以：因此：两个小球组成一个系统，质量分别为：开始时二者均静止。某一过程中，系统外力做功为：系统内力做功为：求该过程中质点系总动能的增量。由质点系动能定理：代入：所以：因此，质点系总动能增加：一个质量为的物体原来静止，爆炸后分成两块，质量分别为和。爆炸过程很短，可忽略外力功。若质量为的碎块速度大小为，质量为的碎块速度大小为，求爆炸后系统增加的动能。爆炸前系统静止，所以初动能为：爆炸后系统总动能为：计算得：所以：因此动能增量为：即：由于外力功可忽略：由质点系动能定理：所以：这说明爆炸过程中，系统内部作用力做正功，使系统总动能增加。质点的动能为：质点的动能定理为：即：质点系的总动能为：质点系的动能定理为：其中，内力虽然成对等大反向，但内力功不一定为零。动能定理体现了：力的空间累积效应改变物体或系统的动能。

功（力的空间累积效应）

Fri, 15 May 2026 02:34:46 GMT

4.机械能机械能守恒在动力学中，力可以改变物体的运动状态。如果从“空间累积效应”的角度看，力对物体的作用效果可以用功来描述。也就是说：功是力在物体位移方向上的空间累积效应。如果一个力作用在物体上，并且物体在这个力的方向上发生了位移，那么这个力就对物体做了功。设质点在恒力作用下发生位移，力与位移的夹角为，则恒力做功为：根据矢量点乘：其中：表示功表示力的大小表示位移的大小表示力与位移之间的夹角由公式：可知，功的正负由决定。当：有：所以：此时力对物体做正功，说明该力对物体的运动起促进作用。例如：推力推动物体前进时，推力通常做正功。当：有：所以：此时力对物体做负功，说明该力对物体的运动起阻碍作用。例如：物体在粗糙水平面上滑动时，摩擦力通常做负功。当：有：所以：此时力不做功。例如：匀速圆周运动中，向心力方向始终指向圆心，而瞬时位移方向沿切线方向，因此向心力不做功。功由力和位移两个矢量通过点乘得到：但功本身是一个标量。功只有大小和正负，没有方向。功的正负只表示力对物体运动的促进或阻碍作用，并不表示功具有方向。功的国际单位是焦耳，符号为：由：可知：即：表示大小为的力，使物体在力的方向上发生位移时所做的功。如果力的大小或方向在运动过程中不断变化，就不能直接使用恒力做功公式：这时需要把运动路径分成许多极小的位移段。在每一个极小位移上，可以近似认为力不变。因此，在极小位移上的微元功为：从位置到位置，变力所做的总功为：这说明：变力做功等于力沿运动路径的线积分。如果质点沿轴运动，力也沿方向，且力是位置的函数：则微元功为：所以，从到，变力做功为：在一维直线运动中，如果已知图像，则力做的功等于图线与轴之间的代数面积。当图像位于轴上方时，对应正功。当图像位于轴下方时，对应负功。因此，图像中的面积可以表示力对物体做功的大小。如果物体同时受到多个力作用：这些力分别做功：则总功等于各个力做功的代数和：也可以认为，总功等于合力所做的功。设合力为：则：对于变力情况，有：在直角坐标系中，设力为：质点的微小位移为：则微元功为：代入坐标形式：由于：且：所以：因此，力所做的总功为：也可以写成：其中：这说明：一个力所做的功，可以分解为它在各个坐标方向上的分力所做功的代数和。如果质点在平面内运动，力为：位移微元为：则：所以：也就是：其中：功的合成主要是从“多个力”的角度看：功的分解主要是从“一个力的坐标分量”的角度看：二者本质上都来自矢量点乘的线性性质。即：(\vec{F}_1+\vec{F}_2)\cdot d\vec{r}\vec{F}_1\cdot d\vec{r} \vec{F}_2\cdot d\vec{r} $$ 以及：功描述的是力在空间上的累积效应。功率描述的是做功的快慢。如果在时间内，力做功为，则平均功率为：其中：表示平均功率表示一段时间内所做的功表示所用时间瞬时功率是平均功率在时间间隔趋近于零时的极限：由于：所以：P=\frac{dW}{dt}\vec{F}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt} P=\vec{F}\cdot\vec{v} P=Fv\cos\theta \mathrm{W} P=\frac{W}{t} 1\ \mathrm{W}=1\ \mathrm{J/s} 1\ \mathrm{W} P=\vec{F}\cdot\vec{v}=Fv\cos\theta 0^\circ \leq \theta < 90^\circ P>0 90^\circ < \theta \leq 180^\circ P<0 \theta=90^\circ P=0 G=mg W_G=mg(h_1-h_2) h_1>h_2 W_G>0 h_1

角动量守恒定律

Fri, 15 May 2026 02:28:47 GMT

质点的角动量定理由质点的角动量定理：其中：：质点相对于某参考点的角动量：质点所受合外力对该参考点的力矩如果质点所受合外力矩为零，即：则：所以：这就是角动量守恒定律。如果质点所受的合外力对某一固定点的力矩为零，那么质点相对于该点的角动量保持不变。即：则：也可以写作：其中：又因为：所以：角动量守恒的根本条件是：也就是合外力矩为零。常见情况有以下几种。如果质点所受合外力为零：则力矩一定为零：因此角动量守恒。如果力的作用线通过参考点，则力臂为零。因为：当：所以：因此角动量守恒。如果质点受到的力始终沿着质点与固定点的连线方向，这种力称为有心力。此时：所以：因此角动量守恒。典型例子包括：行星绕太阳运动人造卫星绕地球运动电子在原子核附近的运动模型如果质点在平面内运动，角动量方向垂直于运动平面。设质点在平面内运动，则角动量只有方向分量：如果质点所受合外力矩的分量为零：则：即：对于质点绕固定点做圆周运动，如果速度方向与半径方向垂直，则：又因为线速度与角速度的关系为：所以：如果角动量守恒，则：当质量不变时：这说明：半径变小时，角速度变大半径变大时，角速度变小例如，花样滑冰运动员收拢手臂时，转动半径减小，角速度增大，因此转得更快。对于由多个质点组成的系统，系统的总角动量为各质点角动量的矢量和：其中：质点系的角动量定理为：其中，是系统所受合外力矩。如果系统所受合外力矩为零：则：所以：这就是质点系的角动量守恒定律。动量守恒关注的是物体整体平动状态是否改变。角动量守恒关注的是物体绕某点或某轴转动状态是否改变。一个质量为的质点受到指向固定点的引力作用，质点相对于点的位置矢量为，所受力为。已知力始终沿的方向，说明质点相对于点的角动量是否守恒。质点相对于点的力矩为：由于力始终沿的方向，所以：因此：即：由角动量定理：所以：因此：所以，质点相对于点的角动量守恒。一个质量不变的质点绕固定点做圆周运动，若运动过程中外力矩为零。已知某时刻半径为，角速度为；后来半径变为，求新的角速度。由于外力矩为零，所以角动量守恒：圆周运动中：所以：两边约去：因此：如果：则：说明半径减小时，角速度增大。角动量守恒定律来自角动量定理：当合外力矩为零时：于是：所以：对于质点：对于质点系：角动量守恒常见于：有心力问题行星和卫星运动旋转半径变化的问题碰撞和转动问题花样滑冰运动员收臂加速旋转的问题

质点的角动量定理

Fri, 15 May 2026 02:27:04 GMT

3.动量守恒定律和角动量守恒定律质点相对于某一固定点的角动量定义为：因为质点的动量为：所以：其中：：质点相对于点的角动量：质点相对于点的位置矢量：质点的动量：质点质量：质点速度由叉乘定义可得：因为：所以：其中，是和之间的夹角。如果质点做圆周运动，且速度方向与半径方向垂直，则：所以：角动量的方向由右手螺旋定则确定：也就是说，四指从的方向转向的方向，大拇指所指的方向就是角动量的方向。力对固定点的力矩定义为：其中：：力对点的力矩：从点指向质点的位置矢量：质点所受的力由叉乘定义可得：其中，是和之间的夹角。也可以写成：其中，是点到力的作用线的垂直距离，称为力臂。力矩的方向也由右手螺旋定则确定：力矩的方向表示力使质点绕点转动趋势的方向。质点对固定点的角动量对时间的变化率，等于质点所受合外力对同一点的力矩。即：其中：这里的指质点所受的合外力。由角动量定义：两边对时间求导：根据乘积求导法则：因为：且：所以第一项为：又由牛顿第二定律：因此：而：所以：这就是质点的角动量定理。由微分形式：两边对时间从到积分：得到：即：其中：：冲量矩，也叫角冲量：角动量的变化量因此，质点的角动量定理也可以表述为：质点在一段时间内所受合外力矩的冲量矩，等于质点角动量的增量。如果质点在平面内运动，则角动量方向垂直于运动平面，只需要考虑方向分量。角动量为：其中：所以角动量的分量为：对应的力矩分量为：因此角动量定理在方向上可以写成：由角动量定理：如果质点所受合外力对某固定点的力矩为零，即：则：因此：这就是质点的角动量守恒定律。如果：则：所以角动量守恒。如果力的作用线通过点，则力臂为零：所以：因此角动量守恒。如果质点受到的力始终沿着的方向，即力的方向始终指向或背离固定点，这种力叫做有心力。此时：所以：因此质点对力心的角动量守恒。例如：行星绕太阳运动时，太阳引力近似为有心力人造卫星绕地球运动时，地球引力近似为有心力质量为的质点在平面内运动，某时刻相对于原点的位置矢量和速度分别为：求质点相对于原点的角动量。质点的角动量为：先写出：所以：在平面运动中：代入：得：因此：负号表示角动量方向沿轴负方向，也就是垂直纸面向里。质点的角动量定义为：或：力矩定义为：质点的角动量定理为：积分形式为：如果：则：也就是质点的角动量守恒。

质点和质点系的动量定理

Fri, 15 May 2026 02:26:37 GMT

3.动量守恒定律和角动量守恒定律在动力学中，力不仅可以从“瞬时作用”角度分析，也可以从“累积作用”角度分析。如果关注力在一段时间内对物体运动状态的改变，就要研究力的时间累积效应，也就是冲量和动量定理。力在一段时间内的累积效果叫做冲量。如果质点受到的力为：在时间到内，力的冲量为：其中：：冲量：随时间变化的力、：力作用的起始和终止时刻冲量是一个矢量，方向由力的方向决定。如果力在这段时间内保持不变，即：则冲量为：其中：冲量反映的是力对时间的累积作用。也就是说，即使力的大小很大，如果作用时间很短，冲量也可能不大；如果力不大，但作用时间很长，也可能产生较大的冲量。因此，冲量同时与两个因素有关：力的大小力作用的时间从图像上看，若画出图像，则冲量对应图像与时间轴围成的面积。质点的动量定义为：其中：：动量：质点质量：质点速度动量也是一个矢量，方向与速度方向相同。如果质点在时刻速度为，在时刻速度为，则动量变化量为：即：如果质量不变，则可写为：牛顿第二定律可以写成：因为：所以：当质量不变时：而：所以：这说明：质点所受合外力等于质点动量对时间的变化率。对上式在到内积分：得到：因此：这就是质点的动量定理。质点在某一时间间隔内所受合外力的冲量，等于质点动量的增量。即：或写作：其中，指质点所受的合外力。在直角坐标系中，动量定理可以写成分量形式：这说明动量定理是矢量方程，在解题时常常需要分解到各个方向分别处理。在碰撞、打击等问题中，力往往随时间剧烈变化，不容易直接知道瞬时力。这时可以引入平均冲力。如果在时间内，变力的冲量等于某个恒力的冲量，则：因此：平均冲力表示在这段时间内，产生相同冲量效果的等效恒力。由多个质点组成的系统叫做质点系。设质点系中有个质点，第个质点的质量和速度分别为：则第个质点的动量为：质点系的总动量为各质点动量的矢量和：即：对于质点系中的每一个质点，它受到的力可以分为两类：内力：系统内部各质点之间的相互作用力外力：系统外部物体对系统内质点的作用力例如，对于两辆小车组成的系统：两辆小车之间的相互推力是内力地面对小车的摩擦力是外力人对小车的推力是外力对质点系中每个质点使用动量定理。第个质点满足：对所有质点求和：左边为系统总动量对时间的变化率：根据牛顿第三定律，系统内力总是成对出现，且大小相等、方向相反，所以内力的矢量和为零：因此：也就是：对上式在到内积分：即：这就是质点系的动量定理。质点系在某一时间间隔内所受合外力的冲量，等于质点系总动量的增量。即：或写作：需要注意：系统动量的改变只由外力冲量决定，内力不能改变系统的总动量。由质点系动量定理：如果系统所受合外力为零，或在某一方向上合外力冲量为零，则：因此：这就是动量守恒定律。如果一个质点系所受合外力为零，或者合外力的冲量为零，则系统总动量保持不变。即：写成具体形式：动量是矢量，因此动量守恒也可以只在某一方向上成立。如果系统在方向所受合外力冲量为零，则：即：这种情况在碰撞、爆炸、反冲问题中非常常见。一个质量为的小球以的速度水平向右运动，被墙反弹后以的速度水平向左运动。设小球与墙接触时间为，求墙对小球的平均作用力。取水平向右为正方向。初速度为：反弹后速度向左，因此：由动量定理：所以：代入数据：负号表示平均作用力方向向左。所以，墙对小球的平均作用力大小为：方向水平向左。光滑水平面上有两个小车，质量分别为，。开始时两车静止，后来由于中间弹簧释放，两车分别向相反方向运动。若的速度大小为，求的速度大小。把两个小车作为一个系统。水平方向上，系统所受外力为零，因此水平方向动量守恒。初始时两车都静止，所以系统初动量为：设向右运动，速度为：设的速度为。由动量守恒：代入数据：负号表示的运动方向与相反。所以，的速度大小为：方向与相反。从力的时间累积效应来看，核心概念是冲量。冲量定义为：质点的动量定理为：质点系的动量定理为：其中：对于质点系，内力不能改变系统总动量，只有外力冲量才能改变系统总动量。如果系统所受合外力冲量为零，则系统总动量守恒：

动量守恒定律

Fri, 15 May 2026 02:22:09 GMT

质点和质点系的动量定理由质点系的动量定理可知：也就是：其中：：系统所受合外力的冲量：系统的总动量：系统总动量的变化量如果系统所受合外力的冲量为零，即：那么：因此：这就是动量守恒定律。如果一个质点系所受的合外力为零，或者在某一方向上所受的合外力冲量为零，那么这个系统的总动量保持不变。即：或写作：对于由多个质点组成的系统，有：其中：：第个质点的质量：第个质点的初速度：第个质点的末速度动量守恒的根本条件是：也就是系统所受合外力的冲量为零。常见情况有以下几种。如果：则：因此系统动量守恒。例如：光滑水平面上两个小车通过弹簧相互作用，水平方向没有外力，水平方向动量守恒。在碰撞、爆炸等短时间过程中，内力往往非常大，外力作用时间很短，外力冲量可以忽略。此时近似认为：所以系统动量近似守恒。例如：两球碰撞子弹射入木块炮弹爆炸人从船上跳出动量是矢量，动量守恒可以只在某一方向上成立。如果系统在方向上满足：则：即：这说明：即使系统整体动量不守恒，也可能在某一个方向上动量守恒。如果所有物体都沿同一直线运动，可以把速度看作带正负号的标量。对于两个物体组成的系统：其中：：物体的初速度：物体的初速度：物体的末速度：物体的末速度解题时需要先规定正方向。如果速度方向与正方向相同，则速度取正值；如果速度方向与正方向相反，则速度取负值。系统内部各物体之间的相互作用力叫做内力。例如：两个小车之间弹簧的弹力两个碰撞小球之间的相互作用力爆炸时碎片之间的相互作用力内力不能改变系统的总动量。这是因为内力总是成对出现，大小相等、方向相反，其总冲量相互抵消。系统外部物体对系统内部物体的作用力叫做外力。例如：地面对物体的摩擦力重力支持力人对系统的推力外力可以改变系统的总动量。因此，判断动量是否守恒时，关键是看系统所受合外力冲量是否为零。动量守恒定律常用于以下问题：碰撞问题爆炸问题反冲问题子弹打木块问题人船模型弹簧连接物体问题这些问题的共同特点是：系统内部相互作用很强，而外力冲量可以忽略或某一方向上为零。光滑水平面上，质量为的小球以的速度向右运动，撞上质量为、静止的小球。碰撞后两球粘在一起运动，求碰后共同速度。取向右为正方向。碰前总动量为：由于第二个小球初速度为零：所以：碰后两球粘在一起，设共同速度为，则碰后总动量为：由动量守恒：所以：因此，碰后两球共同速度为：方向向右。一个质量为的物体原来静止，后来爆炸成两块。其中一块质量为，以的速度向右运动。求另一块的速度。取向右为正方向。爆炸前物体静止，所以系统初动量为：设另一块质量为：设另一块速度为。爆炸后总动量为：由动量守恒：所以：负号表示另一块向左运动。因此，另一块速度大小为：方向向左。先确定研究对象，把相互作用的物体作为一个系统。例如碰撞问题中，通常把两个碰撞物体作为一个系统。分析系统所受外力或外力冲量。如果满足：则系统动量守恒。如果只有某一方向满足外力冲量为零，则只在该方向列动量守恒方程。在一维问题中，要先规定正方向。与正方向相同的速度取正值，与正方向相反的速度取负值。根据：列出：代入已知量，求未知速度或质量。动量既有大小又有方向，因此列式时必须注意方向。一维问题中，方向通过正负号表示。系统内部的相互作用力虽然可以改变各个物体自己的动量，但不能改变整个系统的总动量。例如两个小车互相推开后，两个小车各自获得速度，但系统总动量仍然不变。动量守恒和机械能守恒是两个不同的概念。在碰撞过程中，动量可能守恒，但机械能不一定守恒。例如两物体碰后粘在一起的完全非弹性碰撞，动量守恒，但机械能减少。动量守恒定律可以由质点系动量定理推出：当系统所受合外力冲量为零时：于是：因此：对于多个物体组成的系统：动量守恒定律常用于碰撞、爆炸、反冲等问题。解题关键是：

运动学三类基本问题

Fri, 15 May 2026 02:02:56 GMT

2.牛顿运动定律（1）确定研究对象，画隔离图（2）受力分析，画出示意图（3）建立坐标系第二章牛顿运动定律（4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）（5）解方程，进行公式化简，然后代入数据动力学研究的是力与运动之间的关系。核心公式是牛顿第二定律：其中，通常指质点所受的合外力。在大学物理中，动力学常见的三类基本问题如下。已知质点的运动方程：求质点所受合外力：运动方程对时间求导，可以得到速度：速度再对时间求导，可以得到加速度：也就是：再由牛顿第二定律：因此整体过程为：已知质量为的质点运动方程为：求质点所受合外力。先求速度：所以：再求加速度：所以：由牛顿第二定律：代入：因此：单位为。已知质点所受合外力：以及初始条件，例如：求质点的运动方程：由牛顿第二定律：可得：对加速度积分，可以得到速度：再利用初始速度确定积分常数。然后对速度积分，可以得到位置矢量：再利用初始位置确定积分常数。整体过程为：质量为的质点沿轴运动，受到的合外力为：已知初始条件为：求运动方程。由牛顿第二定律：所以：代入，：因为：所以：对时间积分：得到：由初始条件：所以：因此：又因为：所以：对时间积分：得到：由初始条件：所以：因此运动方程为：质点沿轴运动，已知合外力不是时间的函数，而是位置或速度的函数：或：以及初始条件，求速度与位置之间的关系：在一维直线运动中：如果要把加速度表示为位置的函数，可以使用链式法则：又因为：所以：这是第三类问题中最重要的公式。由牛顿第二定律：代入：得到：整理为：两边积分：也可以写成定积分形式：这个式子可以用来求。质量为的质点沿轴运动，受到弹簧力：已知初始条件为：求质点速度与位置的关系。由第三类问题公式：代入：得到：计算积分：所以：两边乘以：因此：所以：其中正负号由质点实际运动方向决定。由牛顿第二定律：代入：得到：整理为：两边积分：这个式子可以用来求出和的关系，再进一步整理出。质量为的质点沿轴运动，受到与速度成正比的阻力：其中为正常数。已知初始条件为：求速度与位置的关系。由牛顿第二定律：又因为：所以：当时，两边同时除以：所以：对积分：由初始条件：代入得：因此：这表示在阻力作用下，质点速度随位移增大而减小。当速度减小到时，质点停止运动。停止位置满足：所以：或：第一类问题的思路是：第二类问题的思路是：第三类问题的关键是：它适用于一维直线运动中，已知力与位置或速度有关，而不是直接与时间有关的情况。

常见力

Fri, 15 May 2026 01:59:44 GMT

2.牛顿运动定律在力学中，常见力主要包括重力、弹力和摩擦力。它们是进行受力分析时最常见、最基础的几类力。重力是由于地球吸引物体而产生的力。在地球表面附近，物体受到的重力大小为：其中：：重力：物体质量：重力加速度通常取：粗略计算时也常取：重力的方向总是竖直向下，也就是指向地心的方向。重力的作用点叫做重心。对于形状规则、质量分布均匀的物体，重心通常在几何中心处。弹力是物体发生形变后，由于想要恢复原状而产生的力。例如：桌面对书的支持力绳子对物体的拉力弹簧被拉伸或压缩后产生的力这些都属于弹力。弹力产生需要两个条件：两个物体相互接触接触处发生形变如果物体没有接触，一般不会产生弹力。支持力是接触面对物体的弹力。方向通常垂直于接触面，并指向被支持的物体。例如，桌面对书的支持力竖直向上。绳子、弹簧等被拉伸时，会对物体产生拉力。理想轻绳中的拉力方向通常沿绳子方向。弹簧发生形变时产生的弹力满足胡克定律：其中：：弹簧弹力：弹簧劲度系数：弹簧形变量弹簧弹力的方向总是指向恢复原状的方向。摩擦力是两个相互接触的物体之间，由于相对运动或相对运动趋势而产生的阻碍作用。摩擦力的方向沿接触面，并阻碍相对运动或相对运动趋势。摩擦力产生一般需要三个条件：两个物体相互接触并挤压接触面粗糙两物体之间有相对运动或相对运动趋势两个物体之间没有相对滑动，但有相对运动趋势时，产生静摩擦力。静摩擦力大小不是固定的，它会随着外力变化而变化。静摩擦力满足：最大静摩擦力为：其中：：静摩擦力：静摩擦因数：正压力两个物体之间已经发生相对滑动时，产生滑动摩擦力。滑动摩擦力大小通常为：其中：：滑动摩擦力：动摩擦因数：正压力滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反。重力、弹力和摩擦力是力学中最常见的三类力。重力来自地球对物体的吸引，方向竖直向下弹力来自物体形变后的恢复作用摩擦力来自接触面之间的相对运动或相对运动趋势在受力分析中，通常可以按照以下顺序寻找物体受到的力：

基本力

Fri, 15 May 2026 01:34:54 GMT

2.牛顿运动定律在自然界中，物体之间的相互作用可以归纳为四种基本相互作用，也常被称为“四种基本力”：万有引力电磁力强相互作用弱相互作用其中，大学物理力学中最常接触的是万有引力。万有引力是指：任何两个具有质量的物体之间都存在相互吸引的力。也就是说，只要物体有质量，它们之间就会相互吸引。例如：地球吸引苹果，使苹果落向地面地球吸引月球，使月球绕地球运动太阳吸引地球，使地球绕太阳运动人和桌子之间也存在万有引力，只是由于质量较小，这个力极其微弱，通常可以忽略万有引力是一种普遍存在的吸引力。牛顿提出的万有引力定律可以表述为：任意两个质点之间的引力大小，与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。公式为：其中：：两个物体之间的万有引力：万有引力常量、：两个物体的质量：两个物体质心之间的距离万有引力常量为：从公式可以看出：如果两个物体的质量越大，它们之间的万有引力也越大。例如，太阳质量很大，因此太阳对地球的引力足以使地球绕太阳运动。万有引力与距离的平方成反比。如果两个物体之间的距离变为原来的倍，则引力变为原来的：如果距离变为原来的倍，则引力变为原来的：这说明万有引力随距离增大而迅速减小。万有引力的方向沿着两个物体质心的连线，并且总是表现为相互吸引。如果物体和物体相互作用，那么：受到的引力指向受到的引力指向这两个力大小相等、方向相反，符合牛顿第三定律。在地球表面附近，物体受到的重力本质上主要来自地球对物体的万有引力。设地球质量为，物体质量为，物体到地心的距离近似为地球半径，则地球对物体的万有引力为：而重力的表达式为：为了避免与万有引力常量混淆，重力有时也记作：两者近似相等：因此可以得到：这说明重力加速度与地球质量和地球半径有关。万有引力具有以下特点：任何有质量的物体之间都存在万有引力。万有引力总是吸引力，不表现为斥力。万有引力可以在很远的距离上发生作用，例如太阳和地球之间、地球和月球之间。在四种基本相互作用中，万有引力是最弱的一种。但是由于它作用范围极远，并且总是吸引力，所以在天体运动和宇宙尺度上具有非常重要的作用。万有引力可以解释很多自然现象，例如：物体落向地面月球绕地球运动地球绕太阳运动行星轨道人造卫星绕地球运动潮汐现象星系和宇宙大尺度结构的形成因此，万有引力是理解天体运动和经典力学的重要基础。电磁力是带电粒子之间的相互作用。它包括：电荷之间的吸引或排斥电流之间的相互作用磁体之间的相互作用光、电磁波等现象例如：同种电荷相互排斥异种电荷相互吸引磁铁吸引铁钉电流产生磁场电磁力的强度远大于万有引力。在日常生活中，很多接触力本质上都来自电磁力，例如：支持力摩擦力弹力分子间作用力当手推桌子时，手和桌子看似“直接接触”，但微观上主要是原子、分子之间的电磁相互作用。强相互作用是把原子核中的质子和中子结合在一起的作用。原子核中，质子带正电，质子之间存在电磁斥力。按理说，质子应该相互排斥，使原子核不稳定。但是强相互作用比电磁力更强，可以克服质子之间的排斥，使原子核保持稳定。强相互作用的特点是：作用非常强作用范围非常短主要发生在原子核尺度它是维持原子核稳定的关键作用。弱相互作用主要与某些微观粒子的转化过程有关。它在放射性衰变中非常重要，尤其是衰变。例如，一个中子可以通过弱相互作用转化为一个质子，同时释放出电子和反中微子。可以简单写作：其中：：中子：质子：电子：反电子中微子弱相互作用的特点是：作用范围极短强度比强相互作用和电磁力弱与粒子转化、放射性衰变等现象有关四种基本相互作用是现代物理对自然界力的基本分类。其中：万有引力支配天体运动和宏观宇宙结构电磁力支配电、磁、光以及日常接触力强相互作用维持原子核稳定弱相互作用参与粒子转化和放射性衰变在大学物理力学部分，最重要的是掌握万有引力，尤其是公式：以及它与重力公式：之间的关系。

牛顿三定律

Fri, 15 May 2026 00:46:33 GMT

2.牛顿运动定律牛顿三定律是经典力学的基础，用来描述物体的运动状态如何受到力的影响。它们建立了力和运动之间的关系。在大学物理中，牛顿三定律主要适用于惯性参考系。牛顿第一定律也称为惯性定律。其内容是：如果一个物体不受外力作用，或者所受合外力为零，则物体将保持静止状态或匀速直线运动状态。也就是说，当：时，物体的运动状态不发生改变。若物体原来静止，则继续保持静止：若物体原来做匀速直线运动，则继续保持匀速直线运动：因此，牛顿第一定律说明：力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因。物体保持原有运动状态不变的性质，称为惯性。惯性表现为：物体总是倾向于保持原来的速度不变。物体的惯性大小由质量决定。质量越大，惯性越大；质量越小，惯性越小。需要注意的是，惯性不是力，而是物体本身的一种属性。牛顿第一定律成立的参考系称为惯性参考系。在惯性参考系中，如果物体所受合外力为零，则物体保持静止或匀速直线运动。相对于惯性参考系做匀速直线运动的参考系，也是惯性参考系。而相对于惯性参考系做加速运动的参考系，一般不是惯性参考系。牛顿第二定律描述了力和加速度之间的定量关系。其内容是：物体的加速度与所受合外力成正比，与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。数学表达式为：其中：表示物体所受的合外力，表示物体的质量，表示物体的加速度。牛顿第二定律说明：合外力是产生加速度的原因。在直角坐标系中，牛顿第二定律可以写成分量形式。若：则有：在平面运动中，常用的是：这种写法在受力分析和建立运动方程时非常常见。由运动学可知：因此牛顿第二定律也可以写成：若质量不变，则有：这说明，如果已知物体受力情况，就可以通过牛顿第二定律求出加速度，再进一步求速度和运动方程。其基本思路是：在国际单位制中，力的单位是牛顿，符号为：由牛顿第二定律：可知：即，的力可以使的物体产生的加速度。牛顿第三定律也称为作用力与反作用力定律。其内容是：两个物体之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。如果物体 A 对物体 B 的作用力为：物体 B 对物体 A 的反作用力为：则有：这表示两个力大小相等、方向相反。也可以写成：作用力与反作用力具有以下特点：大小相等方向相反作用在同一直线上两个力的方向沿着两个物体相互作用的连线。作用在不同物体上作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上，因此不能相互抵消。同时产生，同时消失只要两个物体之间存在相互作用，作用力和反作用力就同时存在；相互作用消失时，它们也同时消失。作用力和反作用力容易与平衡力混淆。平衡力是作用在同一个物体上的两个力，它们大小相等、方向相反，可以相互抵消。作用力和反作用力是作用在不同物体上的两个力，它们不能相互抵消。例如，一个物体静止放在水平桌面上。物体受到重力：桌面对物体的支持力：如果物体静止，则有：所以：这里的重力和支持力是一对平衡力，因为它们都作用在同一个物体上。而物体对桌面的压力和桌面对物体的支持力是一对作用力与反作用力。它们大小相等、方向相反，但分别作用在桌子和物体上。牛顿第一定律说明了力和运动状态之间的定性关系：时，物体保持静止或匀速直线运动。牛顿第二定律给出了力和加速度之间的定量关系：牛顿第三定律说明了力总是成对出现的：三者共同构成了经典力学中分析物体运动的基本框架。先明确要研究哪一个物体，或者哪一个物体系。例如：分析研究对象受到哪些力，例如：只画研究对象受到的力，不画研究对象对其他物体施加的力。通常选择一个方便分解力和加速度的坐标系。例如，在斜面问题中，常把坐标轴选为：这样可以简化分量方程。根据：分别在各方向上列方程。例如，在直角坐标系中：如果某个方向没有加速度，则该方向满足：如果题目要求速度、位移或运动时间，还需要结合运动学公式。例如：牛顿第一定律：物体保持静止或匀速直线运动状态，说明力是改变运动状态的原因。牛顿第二定律：物体的加速度由合外力决定，方向与合外力方向相同。牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在不同物体上。牛顿三定律的核心逻辑可以概括为：

质点运动学的三类基本问题

Thu, 14 May 2026 11:17:26 GMT

1.时间、空间与运动学质点运动学中，位置、速度和加速度之间的基本关系为：其中，表示位置矢量，表示速度矢量，表示加速度矢量。若已知质点的运动方程：则速度等于位置矢量对时间的一阶导数：加速度等于速度对时间的一阶导数，也等于位置矢量对时间的二阶导数：在直角坐标系中，若运动方程为：则速度为：加速度为：因此，已知运动方程求速度和加速度，本质上是一个求导问题。已知质点的运动方程为：求质点的速度和加速度。由速度定义：所以：由加速度定义：所以：因此：若已知速度随时间的变化关系：并且已知初始条件：则运动方程可由速度对时间积分得到：若已知加速度随时间的变化关系：并且已知初始条件：则先由加速度积分求速度：再由速度积分求位置：因此，已知速度或加速度以及初始条件求运动方程，本质上是一个积分问题。初始条件的作用是确定积分常数。一质点沿轴运动，已知加速度为：初始条件为：求质点的运动方程。由：可得：代入：两边积分：由初始条件，得：所以：又因为：所以：代入：两边积分：由初始条件，得：因此运动方程为：在一维直线运动中，有：如果加速度不是时间的函数，而是位置或速度的函数，例如：或：就不能简单地直接对时间积分，而需要先进行变量转换。若加速度是位置的函数：由于：又因为：所以根据复合函数求导法则：即：于是有：整理得：若初始条件为：则两边积分：得到：即：由此可以求出速度与位置的关系：再利用：得到：两边积分：若能将上式反解，就可以得到运动方程：一质点沿轴运动，已知加速度与位置的关系为：初始条件为：求速度与位置的关系。因为已知的是，所以使用：代入：整理得：两边积分：代入：计算左边：计算右边：所以：整理得：因此速度与位置的关系为：若继续求运动方程，可由：得到：即：两边积分即可得到与的关系。若加速度是速度的函数：可以从加速度定义出发：于是：整理得：若初始条件为：则两边积分：由此可以求出速度与时间的关系：再由：积分得到运动方程：也可以利用关系式：将：代入，得到：整理得：若初始条件为：则两边积分：由此可以得到位置与速度之间的关系：再结合：可以间接得到运动方程：一质点沿轴运动，已知加速度与速度的关系为：其中为正常数。初始条件为：求质点的速度和运动方程。由：代入：分离变量：两边积分：得到：所以：即：又因为：所以：整理得：两边积分：由初始条件，使用定积分形式更方便：为了避免积分变量与上限混淆，可写为：计算得：因此：质点运动学的三类基本问题可以概括为：这是求导问题：典型方法是：这是积分问题：或：典型方法是：关键是进行变量转换。当已知：常用关系式：当已知：常用关系式：或：因此，第三类问题的核心是先把加速度、速度、位置和时间之间的关系转化为可以积分的形式，再结合初始条件求出运动方程。

平面曲线运动的描述

Thu, 14 May 2026 11:13:09 GMT

1.时间、空间与运动学自然坐标系是研究曲线运动时常用的一种坐标系。它不是固定在空间中的直角坐标系，而是沿着质点的运动轨迹建立的坐标系。在自然坐标系中，通常用两个方向描述质点的运动：切向方向：沿轨迹切线方向，通常记作。法向方向：垂直于切线并指向轨迹弯曲的一侧，通常记作。其中，是切向单位矢量，是法向单位矢量。自然坐标系的特点是：切向方向表示质点沿轨迹前进的方向。法向方向表示轨迹弯曲的方向。因此，自然坐标系特别适合描述曲线运动，例如圆周运动、抛体运动的局部运动分析等。在自然坐标系中，质点的速度方向一定沿着轨迹的切线方向。因此，速度矢量可以写成：其中：是速率，即速度的大小。是轨迹切线方向的单位矢量。速率可以写成路程对时间的导数：所以速度矢量也可以写成：这里的表示质点沿轨迹走过的路程，也叫弧长。需要注意的是：速度是矢量，有大小和方向。速率是标量，只有大小。在自然坐标系中，速度的方向由表示，速度的大小由表示。加速度描述速度矢量的变化。由于速度矢量既有大小，也有方向：所以速度的变化可以分成两部分：速度大小的变化。速度方向的变化。因此，自然坐标系中的加速度可以分解为：其中：是切向加速度。是法向加速度。切向加速度描述速率大小变化的快慢。它沿着轨迹的切线方向，公式为：切向加速度的大小为：如果，说明质点速率增大。如果，说明质点速率减小。如果，说明质点速率不变。所以，切向加速度只负责改变速度的大小，不负责改变速度的方向。法向加速度描述速度方向变化的快慢。它沿着轨迹的法线方向，指向轨迹弯曲的一侧，也就是曲率中心方向。法向加速度的大小为：其中：是质点的速率。是轨迹在该点的曲率半径。法向加速度矢量为：法向加速度只负责改变速度方向，不负责改变速度大小。只要轨迹是弯曲的，即使速率不变，也仍然有法向加速度。例如，在匀速圆周运动中，速率不变，所以切向加速度为零：但速度方向不断改变，所以仍然有法向加速度：其中，是圆周运动的半径。在自然坐标系中，总加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和：代入表达式可得：由于切向方向和法向方向互相垂直，所以总加速度的大小为：也就是：切向加速度：表示速率大小变化的快慢。它决定物体运动是变快还是变慢。法向加速度：表示速度方向变化的快慢。它决定物体运动方向改变得有多快。总加速度：同时反映速度大小和速度方向的变化。质点沿直线运动，且速率不变。由于速率不变：由于轨迹不弯曲，曲率半径可以看作无穷大：所以：因此总加速度为：质点沿直线运动，但速率发生变化。由于轨迹不弯曲：但速率变化，所以：因此总加速度只有切向分量：质点沿圆周运动，且速率不变。由于速率不变：由于轨迹是圆，曲率半径就是圆的半径：所以法向加速度为：总加速度为：这时加速度完全指向圆心。质点沿圆周运动，且速率发生变化。由于速率变化：由于轨迹弯曲：因此总加速度为：总加速度大小为：自然坐标系是沿质点运动轨迹建立的坐标系。速度方向沿轨迹切线方向：其中：加速度可以分解为切向加速度和法向加速度：切向加速度为：它描述速率大小的变化。法向加速度为：它描述速度方向的变化。总加速度为：总加速度大小为：也可以写成：在自然坐标系中，理解加速度的关键是：切向加速度改变速度大小。法向加速度改变速度方向。在平面极坐标系中，质点的位置可以用极径和极角描述。对于圆周运动，质点始终在半径为的圆周上运动，因此极径不变：质点的位置主要由极角决定。位置矢量可以写成：其中，是沿半径向外的径向单位矢量。需要注意的是，在圆周运动中，虽然不变，但的方向会随着质点位置改变而改变。角位置是用来描述质点在圆周上所在位置的角量，通常记作。它表示从选定的参考方向到质点半径方向之间转过的角度。在平面极坐标系中，质点的位置可以用：表示。如果知道某一时刻的角位置，就可以确定质点在圆周上的位置。角位置的单位通常是弧度，记作。在大学物理中，角度计算通常默认使用弧度制。角位移描述质点角位置的变化，通常记作。如果质点从角位置运动到角位置，则角位移为：角位移是有正负的。通常约定：逆时针方向为正方向。顺时针方向为负方向。角位移只表示角位置变化了多少，并不一定等于质点实际转过的总角度。例如，质点绕圆运动一周后回到原位置，则角位置可以认为相同，但它实际转过的角度为：如果转过圈，则总转角为：角速度描述角位置变化的快慢，通常记作。平均角速度定义为角位移与时间间隔的比值：瞬时角速度定义为角位置对时间的导数：也可以写成：角速度的单位是：在平面圆周运动中，如果逆时针转动，则角速度为正。如果顺时针转动，则角速度为负。如果用矢量表示角速度，则角速度矢量垂直于运动平面：其中，是垂直于平面的单位矢量。方向可以用右手定则判断：四指沿转动方向弯曲，大拇指所指方向就是角速度矢量方向。角加速度描述角速度变化的快慢，通常记作。平均角加速度定义为角速度变化量与时间间隔的比值：瞬时角加速度定义为角速度对时间的导数：也可以写成：由于：所以角加速度也可以写成：角加速度的单位是：如果角速度的大小增大，则角加速度与角速度方向相同。如果角速度的大小减小，则角加速度与角速度方向相反。在平面圆周运动中，角加速度矢量也垂直于运动平面：圆周运动的角量描述，核心是用角位置随时间的变化来描述运动：这就是圆周运动的角量形式运动方程。如果已知角位置函数，就可以通过求导得到角速度：再对角速度求导，可以得到角加速度：如果角加速度为常量，则类似于匀加速直线运动，可以得到匀变速圆周运动的角量公式。角速度公式：角位置公式：消去时间，可得：也可以写成：其中：是初始角位置。是初始角速度。是角加速度。是角位移。圆周运动既可以用线量描述，也可以用角量描述。线量描述关注质点沿圆周实际运动的距离、速度和加速度。角量描述关注质点转过的角度、角速度和角加速度。它们之间通过半径联系起来。弧长和角位移的关系为：如果是变化量形式，则有：其中，必须使用弧度制。线速度大小和角速度的关系为：速度矢量沿圆周切线方向，可以写成：其中，是沿角度增大方向的切向单位矢量。切向加速度和角加速度的关系为：切向加速度矢量可以写成：切向加速度描述速度大小变化的快慢。法向加速度，也叫向心加速度，大小为：由于：所以：即：法向加速度指向圆心。在平面极坐标系中，指向圆心外侧，所以法向加速度矢量可以写成：因此，圆周运动的总加速度为：也就是：总加速度大小为：代入：圆周运动中，线量和角量的关系可以总结为：其中：位移对应角位移。速度对应角速度。切向加速度对应角加速度。法向加速度对应速度方向的改变。理解圆周运动时要注意：角速度描述转动快慢。线速度描述质点沿圆周运动的快慢。角加速度描述角速度变化快慢。切向加速度描述线速度大小变化快慢。法向加速度描述线速度方向变化快慢。

直角坐标系中运动的描述

Mon, 11 May 2026 01:38:40 GMT

1.时间、空间与运动学在三维直角坐标系中，通常用三个互相垂直的坐标轴描述质点的位置。三个坐标轴方向上的单位矢量分别记作：其中，指向轴正方向，指向轴正方向，指向轴正方向。在直角坐标系中，的方向固定不变，因此对矢量求导时，只需要对坐标分量求导。质点在空间中的位置可以用位置矢量表示。如果质点的位置坐标为：则位置矢量为：如果质点在运动，那么它的位置会随时间变化：因此，位置矢量可以写成时间的函数：这就是直角坐标系中的运动方程。它表示：只要给定时刻，就可以求出质点此时的坐标位置。设质点从点运动到点。点的位置矢量为：点的位置矢量为：则位移矢量为：代入坐标形式：也可以写成：其中：位移大小为：位移只与初位置和末位置有关，与实际走过的路径无关。路程表示质点实际走过路径的长度，通常记作。如果质点沿曲线运动，则很短一段路程满足：因此，总路程可以写成：如果用时间表示，则：一般情况下：只有当质点沿直线单向运动时，位移大小才等于路程。速度是描述位置矢量变化快慢和方向的物理量。瞬时速度定义为：也就是：由于：所以：记作：其中：速度的方向沿轨迹的切线方向。速率是速度矢量的大小，记作：在直角坐标系中：也就是：速率也可以写成路程对时间的导数：所以：速度是矢量，有大小和方向。速率是标量，只有大小，没有方向。加速度是描述速度矢量变化快慢和方向的物理量。瞬时加速度定义为：也就是：由于：所以：记作：其中：又因为：所以加速度分量也可以写成：因此，加速度矢量为：也可以写成：加速度的大小为：也就是：平均速度为：在直角坐标系中：平均加速度为：在直角坐标系中：直角坐标系中的运动可以分解到三个坐标方向上分别研究。位置矢量：运动方程：位移矢量：速度矢量：速率：加速度矢量：在直角坐标系中，研究质点运动的核心思想是：把复杂的空间运动分解为、、三个方向上的一维运动。

质点运动的矢量描述

Mon, 11 May 2026 01:36:04 GMT

1.时间、空间与运动学位置矢量是用来描述质点在空间中“位置”的矢量，通常记作。在选定坐标系后，从坐标原点指向质点所在位置的有向线段，就叫这个质点的位置矢量。在三维直角坐标系中，如果质点的位置坐标为，则它的位置矢量可以写成：其中：表示质点在三个坐标轴方向上的坐标。分别表示轴、轴、轴方向上的单位矢量。的方向是从坐标原点指向质点所在位置。的大小表示质点到坐标原点的距离，即：如果是在二维平面中，位置矢量可以写成：例如，一个质点的位置坐标为，则它的位置矢量为：它到原点的距离为：位置矢量的物理意义是：它告诉我们物体相对于坐标原点在哪里。在运动学中，位置矢量是描述运动的基础。质点的位置随时间变化时，可以写成：速度就是位置矢量对时间的变化率：加速度就是速度对时间的变化率，也就是位置矢量对时间的二阶导数：所以，位置矢量是连接“位置、速度、加速度”的基础概念。位移矢量是用来描述质点“位置变化”的矢量，通常记作。如果质点从初位置运动到末位置，则从初位置指向末位置的矢量就叫位移矢量。设质点初始位置矢量为，末位置矢量为，则位移矢量为：如果在三维直角坐标系中：则位移矢量为：位移矢量的大小为：如果是在二维平面中，则有：其大小为：例如，一个质点从点运动到点，则位移矢量为：位移大小为：位移矢量的方向是从初位置指向末位置。需要注意的是，位移只与初位置和末位置有关，与质点实际走过的路径无关。例如，质点从点到点，无论中间走直线、曲线还是绕路，只要初位置和末位置相同，位移矢量就相同。位移和路程不同：位移是矢量，有大小和方向。路程是标量，只有大小，表示物体实际走过路径的长度。通常有：其中，表示路程。只有当质点沿直线从初位置运动到末位置且不反向时，位移大小才等于路程。在运动学中，位移矢量是定义平均速度的基础。若质点在时间内发生位移，则平均速度为：所以，位移矢量描述的是质点位置的变化，是研究运动状态变化的重要物理量。速度矢量是用来描述质点“位置变化快慢和方向”的物理量，通常记作。如果质点在时间内，位置矢量从变为，则位移矢量为：平均速度定义为位移矢量与所用时间的比值：平均速度是矢量，它的方向与位移矢量的方向相同。当时间间隔趋近于零时，平均速度的极限就是瞬时速度：也可以写成：这说明：速度矢量是位置矢量对时间的导数。如果质点在三维空间中运动，位置矢量为：那么速度矢量为：也可以写成：其中：速度矢量的大小称为速率：需要注意的是，速度和速率不同：速度是矢量，有大小和方向。速率是标量，只有大小，没有方向。例如，在圆周运动中，物体的速率可能保持不变，但速度方向一直在改变，因此速度矢量仍然在变化。加速度矢量是用来描述质点“速度变化快慢和方向”的物理量，通常记作。如果质点在时间内，速度矢量从变为，则速度变化量为：平均加速度定义为速度变化量与所用时间的比值：平均加速度的方向与速度变化量的方向相同。当时间间隔趋近于零时，平均加速度的极限就是瞬时加速度：也可以写成：由于速度是位置矢量对时间的导数：所以加速度也可以写成位置矢量对时间的二阶导数：如果质点在三维空间中运动，速度矢量为：那么加速度矢量为：也可以写成：其中：加速度矢量的大小为：加速度的物理意义是：它描述速度矢量如何变化。速度矢量的变化包括两种情况：速度大小发生变化。速度方向发生变化。因此，即使物体运动快慢不变，只要运动方向发生变化，也有加速度。例如，匀速圆周运动中，物体的速率不变，但速度方向不断改变，所以它仍然具有加速度。位置矢量、速度矢量和加速度矢量之间的关系可以总结为：也就是说：位置矢量描述物体在哪里。速度矢量描述位置变化得多快、向哪里变。加速度矢量描述速度变化得多快、向哪里变。在大学物理的运动学中，位置、速度和加速度是描述质点运动的三个核心物理量。运动方程是用来描述质点位置随时间变化规律的方程。在大学物理中，质点的位置通常用位置矢量表示。如果位置矢量是时间的函数，就可以写成：这个式子就叫质点的运动方程。它的物理意义是：只要知道任意时刻，就可以通过运动方程确定质点在该时刻的位置。在三维直角坐标系中，位置矢量可以写成：如果质点在运动，则三个坐标一般都是时间的函数：因此，质点的运动方程也可以写成：这说明，三维空间中的运动可以分解为三个坐标方向上的运动。如果是在二维平面中，运动方程可以写成：例如，一个质点的运动方程为：则说明质点在方向上的坐标为：在方向上的坐标为：这表示质点的位置会随时间不断变化。运动方程和速度、加速度之间有密切关系。速度是位置矢量对时间的导数：加速度是速度对时间的导数，也就是位置矢量对时间的二阶导数：所以，只要知道运动方程，就可以通过求导得到速度和加速度。例如，若质点的运动方程为：则速度为：加速度为：反过来，如果已知加速度，也可以通过积分得到速度和位置。若已知加速度：则速度为：若已知速度：则位置矢量为：需要注意的是，积分时通常还需要知道初始条件，例如初位置和初速度。初位置可以写成：初速度可以写成：在匀加速直线运动中，如果加速度为常量，则运动方程为：对应的速度方程为：这两个式子是大学物理中最常用的运动学公式之一。总结来说，运动方程描述的是质点的位置随时间变化的规律。它的核心形式是：知道运动方程，就可以进一步求出速度和加速度：因此，运动方程是研究质点运动的基础。轨迹方程是用来描述质点在空间中运动时，所经过路径形状的方程。运动方程描述的是“位置随时间如何变化”，通常写成：而轨迹方程描述的是“质点走过的空间路径是什么形状”。也就是说，轨迹方程通常不直接含时间，而是表示坐标之间的关系。例如，在二维平面中，质点的运动方程可以写成：如果能够消去时间，得到和之间的关系：这个式子就叫质点的轨迹方程。例如，若质点的运动方程为：由第一个式子可得：代入第二个式子：因此：这就是质点的轨迹方程。它表示质点沿一条直线运动。再例如，若质点的运动方程为：由第一个式子可得：代入第二个式子：整理得：这说明质点的轨迹是一条抛物线。轨迹方程和运动方程的区别在于：运动方程关心的是质点在每一时刻的位置。轨迹方程关心的是质点在空间中走过的路径形状。例如：是运动方程，因为它包含时间，可以告诉我们任意时刻质点的位置。而：是轨迹方程，因为它只描述路径是一条直线，并不直接告诉我们质点在某一时刻在哪里。需要注意的是，同一条轨迹可以对应不同的运动过程。例如：只说明质点沿直线运动，但没有说明质点运动得快还是慢。因此，轨迹方程只能描述路径形状，不能完整描述运动过程。如果要完整描述运动，还需要运动方程：总结来说：运动方程描述“什么时候在哪里”。轨迹方程描述“走过什么样的路径”。在处理问题时，通常先由运动方程写出坐标随时间的表达式，再消去时间，得到轨迹方程。在运动学中，位移和路程、速度和速率是两组容易混淆的概念。它们的核心区别是：位移和速度是矢量，既有大小，也有方向。路程和速率是标量，只有大小，没有方向。位移是描述质点位置变化的矢量，通常记作。如果质点从初位置运动到末位置，则位移矢量为：位移的方向是从初位置指向末位置。位移的大小为：位移只与初位置和末位置有关，与质点实际经过的路径无关。例如，一个人从点出发，绕了一圈又回到点，他的路程不为零，但位移为：路程是质点实际运动路径的长度，通常记作。路程是标量，只有大小，没有方向。如果质点沿曲线运动，路程就是沿着曲线实际走过的长度。例如，一个人沿操场跑一圈，虽然最后回到出发点，位移为零，但路程等于操场一圈的长度。位移大小和路程之间通常满足：只有当质点沿直线从初位置运动到末位置，并且运动过程中不反向时，位移大小才等于路程：速度是描述质点位置变化快慢和方向的矢量，通常记作。平均速度定义为位移与时间间隔的比值：平均速度的方向与位移的方向相同。瞬时速度定义为位置矢量对时间的导数：速度是矢量，所以它既描述运动快慢，也描述运动方向。如果速度大小不变，但方向改变，速度矢量仍然发生了变化。例如，在匀速圆周运动中，物体运动快慢不变，但速度方向一直改变，因此速度不是恒定的。速率是描述质点运动快慢的标量，通常记作。平均速率定义为路程与时间间隔的比值：瞬时速率是瞬时速度的大小：速率只有大小，没有方向。例如，汽车速度表显示的，严格来说表示的是速率，而不是完整的速度，因为它只显示运动快慢，不显示方向。平均速度使用的是位移：平均速率使用的是路程：因为一般情况下：所以一般有：只有当质点沿直线单向运动时，平均速度的大小才等于平均速率：假设一个人从原点出发，沿直线向东走，再向西走，总时间为。他的路程为：他的位移为：平均速率为：平均速度为：所以，虽然这个人实际走了路，平均速率不为零，但由于最后回到了出发点，平均速度为零。位移描述的是位置变化，是矢量。路程描述的是实际路径长度，是标量。速度描述的是位置变化的快慢和方向，是矢量。速率描述的是运动快慢，是标量。它们之间的对应关系是：也就是说：速度对应位移。速率对应路程。在判断题目时，看到“方向”“位置变化”“矢量”，通常考虑位移和速度。看到“实际走过的长度”“快慢”“标量”，通常考虑路程和速率。加速度是描述质点速度变化快慢和方向的物理量，通常记作。速度是矢量，所以速度的变化既可以表现为大小变化，也可以表现为方向变化。因此，加速度不仅表示“速度大小变快或变慢”，还可以表示“速度方向发生改变”。如果质点在时间间隔内，速度从变为，则速度变化量为：平均加速度定义为速度变化量与所用时间的比值：也可以写成：其中：表示初速度。表示末速度。表示初时刻。表示末时刻。表示时间间隔。平均加速度是矢量，它的方向与速度变化量的方向相同。需要注意的是，平均加速度描述的是一段时间内速度变化的平均效果，并不一定表示每一瞬间的真实加速度。瞬时加速度是描述质点在某一时刻速度变化快慢和方向的物理量。它可以看作时间间隔趋近于零时，平均加速度的极限：也可以写成导数形式：由于速度是位置矢量对时间的导数：所以加速度也可以写成位置矢量对时间的二阶导数：这说明：瞬时加速度反映的是某一时刻速度矢量变化的情况。在三维直角坐标系中，速度矢量可以写成：则加速度矢量为：也可以写成：其中：加速度的大小为：加速度的方向不是一定与速度方向相同，而是与速度变化量的方向相同。如果加速度方向与速度方向相同，物体速率增大。如果加速度方向与速度方向相反，物体速率减小。如果加速度方向与速度方向不在同一直线上，物体的运动方向会发生改变。例如，在匀速圆周运动中，物体的速率不变，但速度方向不断改变，因此仍然有加速度。此时加速度指向圆心，称为向心加速度。平均加速度描述一段时间内速度变化的平均情况：瞬时加速度描述某一时刻速度变化的情况：平均加速度对应一个时间间隔。瞬时加速度对应某一个时刻。当时间间隔越来越小时，平均加速度就越来越接近瞬时加速度。如果一个物体沿直线运动，初速度为：末速度为：所用时间为：则平均加速度为：代入数据得：这表示物体的速度平均每秒增加。加速度是描述速度变化的物理量。平均加速度描述一段时间内速度变化的平均情况。瞬时加速度描述某一时刻速度变化的情况。加速度的核心公式是：判断一个物体是否有加速度，不能只看速率是否变化，还要看速度方向是否变化。只要速度矢量发生变化，物体就具有加速度。

对物体研究体系的建立

Fri, 08 May 2026 15:15:47 GMT

1.时间、空间与运动学描述物体运动的基本方法 1.选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性质。 2.建立恰当的坐标系，以定量地描述物体的运动。 3.提出较准确的物理模型，以确定所提问题最基本的运动规律。

物理模型

Fri, 08 May 2026 15:14:29 GMT

对物体研究体系的建立质点：忽略大小和形状，将全部质量集中到一个几何点上。质点系：具有相互作用的许多质点。物体可以简化为质点的情况：物体运动时不变形，不作转动（此时物体上各点的轨迹、速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动）物体的线度和它运动的空间范围相比小很多（此时物体的变形及转动显得并不重要）

牛顿力学时空观

Fri, 08 May 2026 15:13:37 GMT

对物体研究体系的建立机械运动：宏观物体之间（或物体内各部分之间）相对位置的改变时间：运动物质的持续性或顺序性空间：运动物质的伸张性或广延性时空观：人们对时间和空间的物质性质的认识

运动的绝对性和相对性

Fri, 08 May 2026 15:13:10 GMT

对物体研究体系的建立运动的绝对性：任何物体在任何时刻都在不停地运动着。运动的相对性：物体的运动都是在一定环境和特定条件下的运动。因此对运动的描述都是相对其他物体而言的。

参考系、坐标系

Fri, 08 May 2026 15:12:41 GMT

对物体研究体系的建立为了描述一个物体的运动，必须先选定另外一个物体作为参考。这个被选作参考的物体，称为参考系。从运动学的角度讲，参考系的选择是任意的，通常以对问题的研究最方便、最简单为原则。坐标系——对参考系的数学表述，为定量地描述物体运动而引入。

积分公式

Fri, 08 May 2026 15:02:18 GMT

大学物理

Wed, 29 Apr 2026 14:48:34 GMT

1.时间、空间与运动学
2.牛顿运动定律
3.动量守恒定律和角动量守恒定律
4.机械能机械能守恒
5.刚体力学基础
6.周期震动

6.周期震动

Wed, 29 Apr 2026 14:47:56 GMT

大学物理

5.刚体力学基础

Wed, 29 Apr 2026 14:47:36 GMT

大学物理

4.机械能机械能守恒

Wed, 29 Apr 2026 14:47:09 GMT

大学物理

3.动量守恒定律和角动量守恒定律

Wed, 29 Apr 2026 14:46:36 GMT

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2.牛顿运动定律

Wed, 29 Apr 2026 14:45:56 GMT

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1.时间、空间与运动学

Wed, 29 Apr 2026 14:44:26 GMT

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简谐振动的合成

简谐振动的描述

旋转矢量法

简谐振动中的速度和加速度

刚体定轴转动的动能定理 ；机械能守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理；角动量守恒定律

刚体转动的转动定律

常见刚体的转动惯量

刚体运动

碰撞

机械能守恒定律

保守力与势能

质点的动能定理、质点系的动能定理

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质点的角动量定理

质点和质点系的动量定理

动量守恒定律

运动学三类基本问题

常见力

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牛顿三定律

质点运动学的三类基本问题

平面曲线运动的描述

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参考系、坐标系

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4.机械能 机械能守恒

3.动量守恒定律和角动量守恒定律

2.牛顿运动定律

1.时间、空间与运动学

刚体定轴转动的动能定理；机械能守恒定律

直角坐标系中运动的描述

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